题目内容
某品牌电视专卖店，在五一期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖．
商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，产生20组随机数组，每组3个数，试验结果如下所示：
235，145，124，754，353，296，065，379，118，247，
520，356，218，954，245，368，035，111，357，265．
（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；
（2）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率．
（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；
（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m的最大值．
| 奖次 | 一等奖 | 二等奖 | 三等奖 |
| 随机数组的特征 | 3个1或3个0 | 只有2个1或2个0 | 只有1个1或1个0 |
| 奖金（单位：元） | 5m | 2m | m |
235，145，124，754，353，296，065，379，118，247，
520，356，218，954，245，368，035，111，357，265．
（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；
（2）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率．
（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；
（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m的最大值．
考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式
专题：综合题,概率与统计
分析：（1）利用对立事件的概率，即可求出随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；
（2）（i）求出每购买一台电视获奖的概率，利用相互独立事件概率公式，可求恰好有两台获奖的概率；
（ii）设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，即可求m的最大值．
（2）（i）求出每购买一台电视获奖的概率，利用相互独立事件概率公式，可求恰好有两台获奖的概率；
（ii）设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，即可求m的最大值．
解答：
解：（1）设“在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖”为事件A，则
由数组知，没中奖的组数为12，∴P(A)=1-
=
．…（3分）
（2）（i）由题意得，每购买一台电视获奖的概率为P=
=
，
设“购买四台电视，恰有两台获奖”为事件B，则P(B)=
(
)2×(1-
)2=
．…（6分）
（ii）设“购买一台电视获一等奖”为事件A1，“购买一台电视获二等奖”为事件A2，
“购买一台电视获三等奖”为事件A3，
则P(A1)=
，P(A2)=
，P(A3)=
．…（8分）
设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，故ξ的分布列为
∴Eξ=0+
+
+
=
．…（10分）
由题意Eξ=
≤260，得m≤400，
∴m的最大值为400．…（12分）
由数组知，没中奖的组数为12，∴P(A)=1-
| ||
|
| 46 |
| 57 |
（2）（i）由题意得，每购买一台电视获奖的概率为P=
| 8 |
| 20 |
| 2 |
| 5 |
设“购买四台电视，恰有两台获奖”为事件B，则P(B)=
| C | 2 4 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 216 |
| 625 |
（ii）设“购买一台电视获一等奖”为事件A1，“购买一台电视获二等奖”为事件A2，
“购买一台电视获三等奖”为事件A3，
则P(A1)=
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 10 |
设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，故ξ的分布列为
| ξ | 0 | m | 2m | 5m | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 3m |
| 10 |
| 2m |
| 20 |
| 5m |
| 20 |
| 13m |
| 20 |
由题意Eξ=
| 13m |
| 20 |
∴m的最大值为400．…（12分）
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望与方差，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．
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