Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”，若椭圆C的一个焦点为F₂（

2

，0），其短轴上的一个端点到F₂的距离为

3

（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）过椭圆C的“伴随圆”上的一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用椭圆标准方程及其a、b、c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴椭圆”的方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公、直线与椭圆相切的性质及点Q的坐标满足“伴椭圆”的方程即可证明．

解答： （Ⅰ）由题意可知：c=

2

，a=

3

，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆方程为：

x2

3

+y2=1，

a2+b2

=2，
∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x²+y²=4．
（Ⅱ）设直线方程为：y=kx+m
∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，
∴圆心到直线的距离d=

|m|

1+k2

，
∵d2+(

2

)2=r2，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又

x2+3y2=3 y=kx+m

，得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直线l与椭圆相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
设Q（x₀，y₀），直线y-y₀=k（x-x₀），
1+3k²-m²=1+3k²-（y₀-kx₀）²=0，
即（3-x02）k²+2y0x0k+1-y02=0，
∴k1k2=

1-y02

3-x02

，
又∵Q（x₀，y₀）在“伴椭圆”上，
∴x02+y02=4，∴3-x02=y02-1．
∴k₁k₂=-1，∴l₁⊥l₂．

点评：熟练掌握椭圆标准方程及其a、b、c的关系、点到直线的距离公式、d2+(

1

2

l)2=r2、及直线与椭圆相切的性质、“伴椭圆”的定义是解题的关键．