Question

11．已知函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）图象的对称轴方程和对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）图象的对称轴方程与对称中心的坐标．

解答 解：（1）函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）图象的对称轴方程为：x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
再令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）图象的对称中心的坐标为（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．