Question

1．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．
（1）求证：DF=DE；
（2）若DB=2，DF=4，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明∠OCF=∠OFC，可得∠CFD=∠DEF，可得△DEF为等腰三角形，从而证得DF=DE．
（2）由切割线定理求得圆的半径r的值，可得⊙O的面积．

解答 解：（1）证明：连结OF，∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．
（2）若DB=2，DF=4，则由切割线定理可得DF²=DA•DB，即16=（2+2r）•2，
求得圆的半径r=3，
故⊙O的面积为πr²=9π．

点评 本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．