Question

【题目】设，，是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相交于，两点

（1）若线段的中点为，求直线的方程；

（2）若直线过椭圆的左焦点，，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）点A、B的坐标代入椭圆方程，两式相减得到等式①，利用中点坐标可得代入①式可化简求出直线的斜率k，即可求出直线的点斜式方程，化简即可；

（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立得关于y的一元二次方程，韦达定理求出、，由得，列出等式化简得，求出点到直线AB的距离及，代入即可求得的面积.

（1）由椭圆的对称性知直线的斜率存在，设，

因为A、B在椭圆上，所以，，

两式相减可得①，

因为为线段AB的中点，所以，

代入①式可得，即，

因为点在直线，直线l的方程为，

即；

（2）椭圆的右焦点，设直线l的方程为，

联立，，

所以，

因为，所以，即，

，所以，，

点到直线AB的距离为，

，

所以的面积为.