Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，，，两点.当垂直于轴时，的面积为.

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（1）求抛物线的方程：

（2）设线段的垂直平分线交轴于点.

①证明：为定值：

②若，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）当垂直于轴时，求出坐标，利用三角形的面积转化求解抛物线方程即可.

（2）①由题意可知直线与轴不垂直.设，，.通过，，三点共线，得.

②，得到.求出线段垂直平分线的方程，结合，转化求解即可.

解：（1）当垂直于轴时，，

所以的面积为，

因为，所以，

所以抛物线的方程为.

（2）①由题意可知直线与轴不垂直.

由（1）知，设，，

则.

由，，三点共线，得，

因为，化简得.

②因为，所以.

因为线段垂直平分线的方程为，

令，得.

因为，所以，

即，整理得，

解得，故.

所以，即直线的斜率为.