Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（I）求的参数方程与的直角坐标方程；

（II）射线与交于异于极点的点,与的交点为,求.

Answer 1

【答案】（I）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为；（II）.

【解析】

（I）由题意，可得曲线是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，即可求得曲线的参数方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；

（II）由（I）得到曲线的极坐标方程为，将射线代入曲线的方程，求得关于的方程，根据极径的几何意义，即可求解.

（I）由，得.所以曲线是以（1，0）为圆心，

1为半径的圆，所以曲线的参数方程为（为参数）.

由，得，所以，则曲线的直角坐标方程为.

（II）由（I）易得曲线的极坐标方程为，则射线与曲线的交点的极径为，

射线与曲线的交点的极径满足，

解得.

所以.