Question

【题目】已知数列的前项和为，且．

（1）若为等差数列，且

①求该等差数列的公差；

②设数列满足，则当为何值时，最大？请说明理由；

（2）若还同时满足：

①为等比数列;

②；

③对任意的正整数存在自然数，使得、、依次成等差数列，试求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）①；②当或时，最大；（2）.

【解析】

（1）①利用等差数列的通项公式及前项和公式，建立方程组，即可求得该等差数列的公差；

②求出的通项公式，进而得到的通项公式，利用，判断的单调性，进而得解；

（2）根据等比数列的性质，并结合，初步确定的通项，再根据等差数列的性质，即可求得的通项公式.

（1）①由，，

得﹐解得，，

该等差数列的公差.

②由①知，所以，

则，

所以，且当 时，单调递增，当时，单调递减，

故当或时，最大.

（2）因为是等比数列，则，

又，

所以或，

由，得，解得，

由，得，解得，

从而或或或，

又因为、、依次成等差数列，得，而公比，

所以，即，

从而（*）

当时，（*）式不成立；

当时，解得；

当时，（*）式不成立；

当时，（*）式不成立．

综上所述，满足条件的.