Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数 M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=x²+2ax+2．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0]上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0]上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）把a=-1代入函数解析式，利用配方法求其值域，根据函数|f（x）|在（-∞，0]上无最大值说明函数f（x）在（-∞，0]上不是有界函数；
（2）把函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数转化为-3≤x²+2ax+2≤3，分离参数a后分别利用基本不等式和函数的单调性求得最值后得答案．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈（-∞，0]，函数为定义域内的减函数，f（x）_min=f（0）=2．
∴函数f（x）在（-∞，0]上的值域为：[2，+∞），
∵|f（x）|没有最大值，∴函数f（x）在（-∞，0]上不是有界函数；
（2）当x∈[1，4]时，f（x）是以3为上界的有界函数，
即|f（x）|=|x²+2ax+2|在[1，4]上的最大值为3．
也就是-3≤x²+2ax+2≤3，即-(

x

2

+

5

2x

)≤a≤-

x

2

+

1

2x

对任意x∈[1，4]恒成立．
则[-(

x

2

+

5

2x

)]max≤a≤(-

x

2

+

1

2x

)min．
当x∈[1，4]时，-(

x

2

+

5

2x

)≤-2

x 2 • 5 2x

=-

5

（当且仅当x=

5

时等号成立）；
当x∈[1，4]时，-

x

2

+

1

2x

为减函数，最小值为-

4

2

+

1

8

=-

15

8

．
∴实数a的取值范围是[-

5

，-

15

8

]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，是中档题．