Question

17．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 求出f（x）的单调减区间A，令（$\frac{π}{2}$，π）⊆A，解出ω的范围．

解答 解：f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），令$\frac{π}{2}+2kπ$≤$ωx+\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{5π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}$，k∈Z．
∵函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≤\frac{π}{2}}\\{\frac{5π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≥π}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}+4k$≤ω≤$\frac{5}{4}$+2k，k∈Z．∴当k=0时，$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．
故选A．

点评 本题考查了三角函数的单调性与单调区间，属于基础题．