Question

9．已知等边△ABC的边长为8$\sqrt{3}$，且三个顶点都在抛物线y²=4mx（m＞0）上，抛物线的准线与x轴交于点M，自M引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，设$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$
（1）求抛物线的方程；
（2）若λ∈[$\frac{1}{2}$，1），求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，点（12，4$\sqrt{3}$）在抛物线y²=4mx（m＞0）上，求出m，即可求抛物线的方程；
（2）利用$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，M（-1，0），求出P，Q的坐标，表示出|PQ|，利用λ∈[$\frac{1}{2}$，1），求|PQ|的取值范围．

解答 解：（1）由题意，点（12，4$\sqrt{3}$）在抛物线y²=4mx（m＞0）上，
∴48=48m，
∴m=1，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，M（-1，0），
∴（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），
∴y₁=λy₂，x₁+1=λ（x₂+1），
∴x₁=λ²x₂，
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），
∴x₂=$\frac{1}{λ}$，x₁=λ，
∴取P（λ，2$\sqrt{λ}$），Q（$\frac{1}{λ}$，$\frac{2}{\sqrt{λ}}$），
∴|PQ|²=（λ-$\frac{1}{λ}$）²+（2$\sqrt{λ}$-$\frac{2}{\sqrt{λ}}$）²=λ²+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+4（λ+$\frac{1}{λ}$）-10，
设λ+$\frac{1}{λ}$=t，t∈（2，$\frac{5}{2}$]，∴|PQ|²=t²+4t-12=（t+2）²-16∈（0，$\frac{17}{4}$]
∴|PQ|∈（0，$\frac{\sqrt{17}}{2}$]．

点评 本题考查抛物线方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定P，Q的坐标是关键．