Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$，x∈R），在同一个周期内，当$x=\frac{π}{4}$时，函数取最大值3，当$x=\frac{7π}{12}$时，函数取最小值-1，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象上所有点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到g（x）的图象，讨论g（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据最值计算A，B，根据周期计算ω，根据f（$\frac{π}{4}$）=3计算φ；
（2）根据函数图象变换得出g（x）的解析式，求出g（x）的单调区间即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{B=1}\end{array}\right.$．
f（x）的周期T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$）=$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
∵f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{3π}{4}$+φ）+1=3，
∴$\frac{3π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，∴φ=-$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）+1．
（2）g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z．
[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]∩[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]=[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{π}{8}$]，
∴g（x）在[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{π}{8}$]上单调递增，在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{3π}{8}$]，[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，函数图象变换，属于中档题．