Question

8．给定如下命题
①在△ABC中，BC=2，AC=3，$∠B=\frac{π}{3}$，则△ABC是锐角三角形；
②若变量x，y线性相关，其回归方程为$\widehat{y}+x=2$，则x，y正相关；
③若命题p：?x≥0，x²+x≥0，则￢p：?${x}_{0}＜0，{x}_{0}^{2}+{x}_{0}＜0$；
④将长为8的铁丝围成一个矩形框，则该矩形面积大于3的概率为$\frac{1}{2}$；
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，则$\frac{b}{a-b}＞\frac{c}{b-c}$．其中正确命题是①④⑤（只填序号）

Answer 1

分析 利用余弦定理求出最大边，再求出最大边所对角的余弦值判断①；
由回归方程为$\widehat{y}$+x=2，即$\widehat{y}$=2-x，可知回归系数小于0，得x，y负相关，判断②；
直接写出全称命题的否定判断③；
列式求出满足矩形面积大于3的矩形边长的范围，由几何概型概率公式求出矩形面积大于3的概率判断④；
利用不等式的性质判断⑤．

解答 解：①在△ABC中，BC=2，AC=3，∠B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos$\frac{π}{3}$，
即3²=2²+AB²-2×2×$\frac{1}{2}$AB，解得AB=1+$\sqrt{6}$＞3，则AB为最大边，
而cos∠C=$\frac{9+4-（1+\sqrt{6}）^{2}}{2×2×3}$=$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$＞0，则△ABC是锐角三角形．故①正确；
②若变量x，y线性相关，回归方程为$\widehat{y}+x=2$，即$\widehat{y}$=2-x，则x，y负相关．故②错误；
③若命题p：?x≥0，x²+x≥0，则?p：?x₀≥0，x₀²+x₀＜0．故③错误；
④设矩形的一边长度为xcm，则另一边长度为（4-x）cm，因此x的取值范围是0＜x＜4，
由矩形的面积S=x（4-x）＞3．由x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3，
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于3的概率P=$\frac{3-1}{4-0}$=$\frac{1}{2}$．故④正确；
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，则b-c＞a-b＞0，可得$\frac{1}{a-b}$＞$\frac{1}{b-c}$＞0，则$\frac{b}{a-b}$＞$\frac{c}{b-c}$．故⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，训练了几何概型的求法，考查了不等式的性质，是中档题．