在平面直角坐标系xOy中.已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.且被圆C1截得的弦长为2$\sqrt{3}$.求直线l的方程,(II)设P为平面上的点.满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2.它们分别与圆C1和圆C2相交.且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（I）若直线l过点A（-2，0），且被圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（II）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

分析（I）直线l过点A（-2，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，可求直线l的方程．
（II）设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，根据⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，可得⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．

解答解：（I）当直线l过点A（-2，0），且斜率不存在时，l的方程为x=-2
由$\left\{\begin{array}{l}{（x+3）^{3}+（y-1）^{2}=4}\\{x=-2}\end{array}\right.$得y=1$±\sqrt{3}$，此时直线l被圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，满足题意；…（2分）
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y-k（x+2）
由直线l圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，可得圆心（-3，1）到直线l的距离为1
由$\frac{|-3k-1+2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1解得k=0．
故直线l的方程为y=0…（5分）
综上，满足条件的直线l有两条，方程分别为x=-2和y=0；…（6分）
（II）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）（7分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等
即$\frac{|1-k（-3-a）-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|5+\frac{1}{k}（4-a）-b|}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$（8分）
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5
因k的取值有无穷多个，所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{b-a+3=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-b+8=0}\\{a+b-5=0}\end{array}\right.$（10分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
这样的点只可能是点P₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）或点P₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{2}$）
经检验点P₁和P₂满足题目条件．…（12分）