Question

16．已知函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象过点$A（0，\sqrt{3}）$，且$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，将其图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 先求出a的值，再化简函数f（x），根据周期的定义求出ω，根据函数图象的平移，利用图象关于y轴对称，求出m的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象过点$A（0，\sqrt{3}）$，
∴sin0+acos0=$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
∵$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，
∴f（x+π）=-f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x），
∴函数f（x）的周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵将其图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，
∴$\frac{π}{3}$-2m=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴m=-$\frac{π}{12}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
当k=-1时，最小，最小为$\frac{5π}{12}$，
故选：D

点评 本题考查了三角函数的化简与图象平移的应用问题，是基础题目．