题目内容
1．若曲线C：y=x2+aln（x+1）-2上斜率最小的一条切线与直线x+2y-3=0垂直，则实数a=2．分析 求导数，利用基本不等式，求出曲线C：y=x2+aln（x+1）-2上斜率最小的一条切线的斜率，利用垂直关系建立方程，即可得出结论．
解答 解：∵y=x2+aln（x+1）-2，∴y′=2x+$\frac{a}{x+1}$=2x+2+$\frac{a}{x+1}$-2，
∵斜率存在最小值，∴a＞0，∴2x+2+$\frac{a}{x+1}$-2≥2$\sqrt{2a}$-2，
∵曲线C：y=x2+aln（x+1）-2上斜率最小的一条切线与直线x+2y-3=0垂直，
∴2$\sqrt{2a}$-2=2，∴a=2．
故答案为：2．
点评 本题考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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