Question

2．在平面直角坐标系xoy中，直线l：x+y-2=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁：ρ=1，将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的$2\sqrt{2}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C₂，又直线l与曲线C₂交于A，B两点．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设定点P（2，0），求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：ρ=1，即直角坐标方程：x²+y²=1．．将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的$2\sqrt{2}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C₂，可得与曲线C₂的方程为：$（\frac{x}{2\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲线C₂的方程为：3t²+4$\sqrt{2}$t-8=0．可得$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）曲线C₁：ρ=1，即直角坐标方程：x²+y²=1．
将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的$2\sqrt{2}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C₂，
可得与曲线C₂的方程为：$（\frac{x}{2\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，化为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲线C₂的方程为：3t²+4$\sqrt{2}$t-8=0．
∴t₁+t₂=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，t₁•t₂=-$\frac{8}{3}$．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（-\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}-4×（-\frac{8}{3}）}}{\frac{8}{3}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．