Question

已知函数f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)．
（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在[-

1

2

，

3

4

]上的取值范围．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：图表型,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先列表，再描点画图即可用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2π

3

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，可解得f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）由x∈[-

1

2

，

3

4

]，可得

2π

3

x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，从而求得f（x）在[-

1

2

，

3

4

]上的取值范围．

解答： 本题满分（13分）
解：（Ⅰ）函数f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)的周期T=3，-----------------------------------（1分）
列表如下：

2π 3 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- 1 4	1 2	5 4	2	11 4
f（x）	0	2	0	-2	0

描点画图如图所示．--------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）函数y=sinx的单调增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)．-----------------------（6分）
由2kπ-

π

2

≤

2π

3

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得3k-1≤x≤3k+

1

2

(k∈Z)．
所以f（x）单调增区间为[3k-1，3k+

1

2

](k∈Z)．----------------------------------------------（9分）
（Ⅲ）因为x∈[-

1

2

，

3

4

]，
所以

2π

3

x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
所以sin(

2π

3

x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
所以2sin(

2π

3

x+

π

6

)∈[-1，2]，即f（x）在[-

1

2

，

3

4

]上的取值范围是[-1，2]．-------------（13分）
说明：（Ⅱ）（Ⅲ）问，如果最终结果错误，可细化解题步骤给过程分；如果仅有最终正确结果，无步骤每问各扣（1分）．

点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．