Question

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中a，b为常数．
（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．
（Ⅱ）解：由f（x+1）-f（x）=a•2^x+2b•3^x＞0，得 2b(

3

2

)x＞-a，再分类讨论求得它的解集．

解答： （Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．
证明如下：
当a＞0，b＞0时，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，
则 △y=f(x2)-f(x1)=a(2x2-2x1)+b(3x2-3x1)．
因为 2x1＜2x2，a＞0⇒a(2x2-2x1)＞0；又3x1＜3x2，b＞0⇒b(3x2-3x1)＞0，
所以△y=f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．
当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．
（Ⅱ）解：由f（x+1）-f（x）=a•2^x+2b•3^x＞0，得 2b(

3

2

)x＞-a．（*）
①当a＜0，b＞0时，（*）式化为(

3

2

)x＞

-a

2b

，解得x＞log

3

2

(-

a

2b

)．
②当a＞0，b＜0时，（*）式化为(

3

2

)x＜

-a

2b

，解得x＜log

3

2

(-

a

2b

)．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解指数、对数不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．