Question

7．已知某水库近50年来年入流量X（单位：亿立方米）的频数分布如表：

年入流量	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
年数	10	35	5

将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．现计划在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数Y受当年年入流量X的限制，并有如下关系：

年入流量	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
最多运行台数	1	2	3

（1）求随机变量Y的数学期望；
（2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元．为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？

Answer 1

分析 （1）依题意，先求出随机变量Y的分布列，由此能求出随机变量Y的数学期望．
（2）记水电站总利润为Z（单位：万元），分别求出安装1台发电机、?安装2台发电机、?安装3台发电机的利润的期望，由此得到欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台．

解答 解：（1）依题意，${p_1}=p（40＜X＜80）=\frac{10}{50}=0.2$．
${p_2}=p（80≤X≤120）=\frac{35}{50}=0.7$，
${p_3}=p（X≥120）=\frac{5}{50}=0.1$．
随机变量Y的分布列为

Y	1	2	3
P	0.2	0.7	0.1

随机变量Y的数学期望为   E（Y）=1×0.2+2×0.7+3×0.1=1.9．
（2）记水电站总利润为Z（单位：万元）
?安装1台发电机的情形．
由于水库年流入量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润  Z=5000，E（Z）=5000×1=5000．
?安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Z=5000-800=4200，
因此P（Z=4200）=P（40＜X＜80）=0.2；
当X≥80时，两台发电机运行，此时 Z=5000×2=10000，因此P（Z=10000）=P（X≥80）=0.8．
由此  Z的分布列如下：

Z	4200	10000
P	0.2	0.8

E（Z）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
?安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Z=5000-1600=3400，因此P（Z=3400）=P（40＜X＜80）=0.2；
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时 Z=5000×2-800=9200，因此P（Z=9200）=P（80≤X≤120）=0.7．
当X＞120时，三台发电机运行，此Z=5000×3=15000，因此P（Z=15000）=P（X＞120）=0.1．
由此Z的分布列如下：

Z	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
P	0.2	0.7	0.1

E（Z）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台．

点评 本题考查离散型机量的分布和数学期望的求法及应用，正确理解题意是基础，准确写出各分布列是关键．本题考查学生逻辑推理能力和离散随机变量的分布．