Question

19．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=$\sqrt{3}$DC．
（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2$\sqrt{2}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理有$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，又$AC=\sqrt{3}DC$，可得$sin∠ADC=\sqrt{3}sin∠DAC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，可求∠ADC，即可求B的值．
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，$AC=\sqrt{3}x$，可求$sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$AB=\sqrt{6}x$，由余弦定理即可计算得解DC的长．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$．
因为$AC=\sqrt{3}DC$，所以$sin∠ADC=\sqrt{3}sin∠DAC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，
所以∠ADC=120°．…（3分
于是∠C=180°-120°-30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，$AC=\sqrt{3}x$．
于是$sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$AB=\sqrt{6}x$．…（9分）
在△ABD中，由余弦定理，得 AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB，
即${（2\sqrt{2}）^2}=6{x^2}+4{x^2}-2×\sqrt{6}x×2x×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=2{x^2}$，得x=2．
故DC=2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．