Question

1．在等比数列{a_n}中，a₁•a₂•a₃=64，a₁+a₃=10，a₂＞a₁．试求：
（1）a₁₀和S₁₀；
（2）b_n=na_n，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁•a₂•a₃=64可得a₂=4，a₁•a₃=16，再结合a₁+a₃=10，且a₂＞a₁可得a₁=2，a₃=8，q=2，从而解得；
（2）由（1）知b_n=na_n=n•2ⁿ，从而利用错位相减法求其和．

解答 解：（1）∵a₁•a₂•a₃=64，
∴a₂³=64，
∴a₂=4；
∴a₁•a₃=16，又∵a₁+a₃=10，且a₂＞a₁，
∴a₁=2，a₃=8，q=2，
∴a₁₀=a₁•q^10-1=2¹⁰=1024，
S₁₀=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}$=2046；
（2）由（1）知，b_n=na_n=n•2ⁿ，
故T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n•2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等比数列前n项和与通项公式的求法及应用，同时考查了错位相减法的应用．