Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若四棱锥P-ABCD的体积是$4\sqrt{3}$，∠BCD=90°，求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥AC，BD⊥PA，利用直线与平面垂直的判定定理证明BD⊥面PAC．
（2）通过几何体的体积求出PA，说明C到面PBD的距离等于A到面PBD的距离，作AH⊥OP于H，A到面PBD的距离即AH，在△OPA中，求解即可．

解答 解：（1）证明：在△ABC中，
因为AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°
∴BO⊥AC，OC=OA（等腰三角形三线合一）------------3分
又∵PA⊥平面ABCD∴BD⊥PA．
∵PA与AC交于C∴BD⊥面PAC------6分
（2）因为AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，∠BCD=90°
∴$BD=4，AC=2\sqrt{3}$∴${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×{S_{ABCD}}×PA=\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×PA=4\sqrt{3}$
∴PA=3----------------------8分
∵OC=OA，故C到面PBD的距离等于A到面PBD的距离，
作AH⊥OP于H，A到面PBD的距离即AH，
在△OPA中，$PA•OA=OP•AH\;\;，3×\sqrt{3}=2\sqrt{3}×AH$
∴$AH=\frac{3}{2}$
故C到面PBD的距离等于$\frac{3}{2}$．--------------------12分．

点评 本题考查几何体的体积的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，点线面距离的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．