Question

如图，正方形ABCD与正方形BDEF所在的平面互相垂直，AB=1．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质，即可证明AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，则OA为四棱锥A-BDEF的高，利用V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF，即可求多面体ABCDEF的体积．

解答： （I）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．…（2分）
∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF．…（5分）
（II）解：设AC∩BD=O，
∵AB=1，四边形ABCD为正方形，
∴BD=

2

，AO=

2

2

，S_BDEF=2．…（7分）
∵AC⊥平面BDEF，
∴OA为四棱锥A-BDEF的高
∴V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF…（9分）
=2×

1

3

×2×

2

2

=

2 2

3

．…（12分）
即多面体ABCDEF的体积为

2 2

3

．

点评：本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力．