Question

已知倾斜角为

π

4

的直线l过点P（-2，-4），与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，试求此抛物线的方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：倾斜角为

π

4

的直线l过点P（-2，-4），可得直线l的标准参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数）．代入抛物线方程y²=2px（p＞0）可得：t2-(2

2

p+8

2

)t+32+8p=0，设A，B的参数分别为t₁，t₂．可得根与系数，由于|PA|=t₁，|PB|=t₂，|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2p2+8p

．及|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，即可得出．

解答： 解：∵倾斜角为

π

4

的直线l过点P（-2，-4），
∴直线l的标准参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数）．
代入抛物线方程y²=2px（p＞0）可得：t2-(2

2

p+8

2

)t+32+8p=0，
设A，B的参数分别为t₁，t₂．
则t₁+t₂=2

2

p+8

2

，t₁t₂=32+8p．
∴|PA|=t₁，|PB|=t₂．
|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2p2+8p

．
∵|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，
∴4（2p²+8p）=t₁t₂=32+8p，
化为p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．
∴抛物线的方程为：y²=2x．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线的参数方程、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．