Question

已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若asin（

π

2

-C），bsin（

π

2

-B），csin（

π

2

-A）依次成等差数列．
（1）求角B；
（2）如果△ABC的外接圆的面积为π，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,等差数列的通项公式

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用asin（

π

2

-C），bsin（

π

2

-B），csin（

π

2

-A）依次成等差数列，结合正弦定理，即可求出角B；
（2）由△ABC的外接圆的面积为π，求出半径，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵asin（

π

2

-C），bsin（

π

2

-B），csin（

π

2

-A）依次成等差数列，
∴asin（

π

2

-C）+csin（

π

2

-A）=2bsin（

π

2

-B），
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

；
（2）∵△ABC的外接圆的面积为π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=

3

，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
当且仅当a=c时，取等号，即ac的最大值为3，
∴△ABC面积的最大值为

1

2

acsinB=

3 3

4

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．