Question

11．圆C₁：x²+y²+2ax+a²-9=0和圆C₂：x²+y²-4by-1+4b²=0只有一条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得a²+4b²=4，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值．

解答 解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 （x+a）²+y²=9，x²+（y-2b）²=1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为3和1，故有$\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}$=2，∴a²+4b²=4，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+4b²）=$\frac{1}{4}$（8+$\frac{16{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥4，
当且仅当$\frac{16{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$时，等号成立，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到a²+4b²=4是解题的关键和难点．