某商场举行有奖促销活动.顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.一等奖500元.二等奖200元.三等奖10元．抽奖规则如下,顾客先从装有2个红球.4个白球的甲箱中随机摸出两球.再从装有1个红球.2个黑球的乙箱随机摸出一球.在摸出的3个球中.若都是红球.则获一等奖,若有2个红球.则获二等奖,若三种颜色各一个.则获三等奖.其它情况不获奖．(I)设某顾客在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，一等奖500元，二等奖200元，三等奖10元．抽奖规则如下；顾客先从装有2个红球、4个白球的甲箱中随机摸出两球，再从装有1个红球、2个黑球的乙箱随机摸出一球，在摸出的3个球中，若都是红球，则获一等奖；若有2个红球，则获二等奖；若三种颜色各一个，则获三等奖，其它情况不获奖．
（I）设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若某个时间段有三位顾客参加抽奖，求至多有一位获奖的概率．

分析（Ⅰ）由已知得X的可能取值为500，200，10，0，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在一次摸奖中的获奖概率为：1-P（X=0）=$\frac{3}{5}$，由此能求出三人中至多一人获奖的概率．

解答解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为500，200，10，0，
P（X=500）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{45}$，
P（X=200）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{10}{45}$，
P（X=10）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{16}{45}$，
P（X=0）=1-$\frac{1}{45}-\frac{10}{45}-\frac{16}{45}$=$\frac{18}{45}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	500	200	10	0
P	$\frac{1}{45}$	$\frac{10}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{18}{45}$

∴随机变量X的数学期望为：
EX=$500×\frac{1}{45}+200×\frac{10}{45}+10×\frac{16}{45}$=$\frac{532}{9}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在一次摸奖中的获奖概率为：
1-P（X=0）=1-$\frac{18}{45}$=$\frac{3}{5}$，
∴三人中至多一人获奖的概率为：${C}_{3}^{1}•\frac{3}{5}•（\frac{2}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{44}{125}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．