Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F
（1）求证：AB∥EF；
（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由底面ABCD是菱形，得AB∥CD，利用线面平行的判定可得AB∥面PCD，再由线面平行的性质可得AB∥EF；
（2）由PA=PD=AD=2，可得△PAD为等边三角形，求出AD边上的高h=$\sqrt{3}$，再由平面PAD⊥平面ABCD，可得P到平面ABCD的距离为$\sqrt{3}$．然后利用等积法求得三棱锥P-AEF的体积．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又∵AB?面PCD，CD?面PCD，
∴AB∥面PCD，
又∵A、B、E、F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF；
（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴△PAD为等边三角形，
∴AD边上的高h=$\sqrt{3}$，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴P到平面ABCD的距离为$\sqrt{3}$．
又ABCD是菱形，且∠ABC=120°．
∴${V_{P-AEF}}={V_{E-PAF}}=\frac{1}{2}{V_{C-PAF}}=\frac{1}{4}{V_{C-PAD}}=\frac{1}{4}{V_{P-ADC}}=\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•4•\sqrt{3}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．