题目内容

2．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从   老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能   自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行  统计，样本分布被制作成如图表：
（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发  放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下   老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100    元．试估计政府执行此计划的年度预算．

分析 （Ⅰ）数据整理如下表：

健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理
80岁及以上20452015
80岁以下2002255025
利用频率计算公式即可得出．
（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：$\frac{15+20+45+20}{600}$，用样本估计总体，80岁及以上长者共有$66×\frac{1}{6}=11$万，即可得出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=$\frac{4}{5}$，P（X=120）=$\frac{1}{5}$×$\frac{475}{600}$，P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$，P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$，P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$，及其数学期望．

解答 解：（Ⅰ）数据整理如下表：

 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理
 80岁及以上 20 45 20 15
 80岁以下 200 225 50 25
从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：$\frac{15}{15+25}$=$\frac{3}{8}$，
故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×$\frac{3}{8}$=6.80岁以下长者人数为10人
（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：$\frac{15+20+45+20}{600}$=$\frac{1}{6}$，
用样本估计总体，80岁及以上长者共有$66×\frac{1}{6}=11$万，
80岁及以上长者占户籍人口的百分比为$\frac{11}{400}×$100%=2.75%．
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，
P（X=0）=$\frac{4}{5}$，P（X=120）=$\frac{1}{5}$×$\frac{475}{600}$=$\frac{95}{600}$，P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$=$\frac{17}{600}$，
P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$=$\frac{5}{600}$，P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$=$\frac{3}{600}$，
则随机变量X的分布列为：
 X 0 120 200 220 300
 P$\frac{4}{5}$$\frac{95}{120}$$\frac{17}{600}$$\frac{6}{600}$$\frac{3}{600}$
EX=0×$\frac{4}{5}$+120×$\frac{95}{600}$+200×$\frac{17}{600}$+220×$\frac{5}{600}$+300×$\frac{3}{600}$=28，
全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．
政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．

点评 本题考查了频率计算公式、随机变量分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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