Question

19．已知定义在$（0，\frac{π}{2}）$上的函数，f′（x）为其导函数，且$\frac{f（x）}{sinx}＜\frac{{{f^'}（x）}}{cosx}$恒成立，则（　　）

• A． $f（\frac{π}{2}）＞2f（\frac{π}{6}）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{4}）＞\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$
• C． $\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{π}{3}）$
• D． $f（1）＜2f（\frac{π}{6}）sin1$

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，从而判断出函数值的大小即可．

解答 解：由f′（x）sinx＞f（x）cosx，
则f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，且$\frac{f（x）}{sinx}＜\frac{{{f^'}（x）}}{cosx}$恒成立，即：$\frac{f（x）′sinx-f（x）cosx}{sinxcosx}$＞0恒成立．
g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$），
故选：C．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$是解题的关键，本题是一道中档题．