Question

（Ⅰ）求直线m：3x+4y=12与两坐标轴所围成的三角形的内切圆C的方程；
（Ⅱ）若与（Ⅰ）中的圆C相切的直线l交x轴y轴于A（a，0）和B（0，b）两点，且a＞2，b＞2．
①求证：圆C与直线l相切的条件为（a-2）（b-2）=2；
②求△OAB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据直线与圆相切的性质解决即可．
（Ⅱ）①利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，运算即可
②表示出三角形面积后，利用基本不等式和一元二次不等式的性质解决．

解答： 解：（Ⅰ）直线m：3x+4y=12与两坐标轴交点分别为A（4，0），B（0，3）．
则△AOB是直角三角形
∵圆心到坐标的距离相等
∴可设圆心C（a，a），半径为a，（0＜a＜3）
∴圆心到AB的距离为

|3a+4a-12|

32+42

=

|7a-12|

5

=a
解得：a=1
∴圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）①证明：∵直线l交x轴y轴于A（a，0）和B（0，b）两点
∴直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0
∵直线l与圆C相切，
∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1
即ab-2a-2b+2=0
（a-2）（b-2）=2
②由①可知ab=2a+2b-2
∴S=

1

2

ab=a+b-1≥2

ab

-1
当且仅当a=b=2+

2

时取“=“
即S-2

S

+1≥0
解得S≥3+2

2

∴Smin=3+2

2

，
直线l方程为x+y-2-2

2

=0

点评：本题主要考查了直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法等综合知识．属于难题．