题目内容
设数列{an}对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+…+an）（其中k、b、p是常数）．
（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，求a1+a2+…+an；
（Ⅱ）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）当k=1，b=0，p=0时，若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，且a2-a1=2．Sn是数列{an}的前n项和，满足
＜
+
+…+
＜
，求数列{an}首项a1的值．
（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，求a1+a2+…+an；
（Ⅱ）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）当k=1，b=0，p=0时，若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，且a2-a1=2．Sn是数列{an}的前n项和，满足
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| Sn |
| 11 |
| 18 |
考点：数列的求和,数列的应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，由已知条件推导出3（an+1-an）=2an+1，an+1=3an，由此得到数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而能求出a1+a2+…+an．
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，由已知条件推导出nan+2-2nan+1+nan=0，从而得到数列{an}是等差数列，由此求出an=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知数列{an}是等差数列，an=a1+2（n-1）．由此进行分类讨论，能求出数列{an}首项a1的值．
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，由已知条件推导出nan+2-2nan+1+nan=0，从而得到数列{an}是等差数列，由此求出an=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知数列{an}是等差数列，an=a1+2（n-1）．由此进行分类讨论，能求出数列{an}首项a1的值．
解答：
解：（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，
3（a1+an）-4=2（a1+a2+…+an），①
用n+1去代n得，3（a1+an+1）-4=2（a1+a2+…+an+1），②
②-①得，3（an+1-an）=2an+1，an+1=3an，
在①中令n=1得，a1=1，则an≠0，∴
=3，
∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a1+a2+…+an=
=
．
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+…+an），③
用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+…+an+an+1），④
④-③得，（n-1）an+1-nan+a1=0，⑤．
用n+1去代n得，nan+2-（n+1）an+1+a1=0，⑥
⑥-⑤得，nan+2-2nan+1+nan=0，即an+2-an+1=an+1-an，．
∴数列{an}是等差数列．∵a3=3，a9=15，
∴公差d=
=2，∴an=2n-3．
（Ⅲ）由（II）知数列{an}是等差数列，
∵a2-a1=2，∴an=a1+2（n-1）．
又对任意m，n∈N*，必存在p∈N*，
使a1+2（n-1）+a1+2（m-1）=a1+2（p-1），
得a1=2，故a1是偶数，10分
又由已知，
＜
＜
，故
＜a1＜6．
一方面，当
＜a1＜6时，Sn=n（n+a1-1）＞0，对任意n∈N*，
都有
+
+…+
＞
＞
．
另一方面，当a1=2时，Sn=n（n+1），
=
-
，
则
+
+
+…+
=1-
，
取n=2，则
+
=1-
=
＞
，不合题意．
当a1=4时，Sn=n（n+3），
=
(
-
)，
则
+
+
+…+
=
-
(
+
+
)＜
，
∴a1=4．
3（a1+an）-4=2（a1+a2+…+an），①
用n+1去代n得，3（a1+an+1）-4=2（a1+a2+…+an+1），②
②-①得，3（an+1-an）=2an+1，an+1=3an，
在①中令n=1得，a1=1，则an≠0，∴
| an+1 |
| an |
∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a1+a2+…+an=
| 1-3n |
| 1-3 |
| 3n-1 |
| 2 |
（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+…+an），③
用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+…+an+an+1），④
④-③得，（n-1）an+1-nan+a1=0，⑤．
用n+1去代n得，nan+2-（n+1）an+1+a1=0，⑥
⑥-⑤得，nan+2-2nan+1+nan=0，即an+2-an+1=an+1-an，．
∴数列{an}是等差数列．∵a3=3，a9=15，
∴公差d=
| 15-3 |
| 9-3 |
（Ⅲ）由（II）知数列{an}是等差数列，
∵a2-a1=2，∴an=a1+2（n-1）．
又对任意m，n∈N*，必存在p∈N*，
使a1+2（n-1）+a1+2（m-1）=a1+2（p-1），
得a1=2，故a1是偶数，10分
又由已知，
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| S1 |
| 11 |
| 18 |
| 18 |
| 11 |
一方面，当
| 18 |
| 11 |
都有
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| 6 |
另一方面，当a1=2时，Sn=n（n+1），
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
则
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| n+1 |
取n=2，则
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 11 |
| 18 |
当a1=4时，Sn=n（n+3），
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+3 |
则
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| S3 |
| 1 |
| Sn |
| 11 |
| 18 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n+3 |
| 11 |
| 18 |
∴a1=4．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的首项的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目