Question

已知函数f（x）=

4ex

ex+1

．
（1）用两种方法判断函数f（x）的单调性，并求值域；
（2）求函数y=f（x）图象的一个对称中心．

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）方法1：求函数的导数，利用函数单调性和导致之间的关系即可得到结论．
法2：利用分式函数的单调性的性质即可得到结论．
（2）求出f（-x），得到f（x）+f（-x）=4为常数即可求得函数的对称中心．

解答： 解：（1）法1：函数的导数为f′（x）=

4ex(ex+1)-4ex•ex

(ex+1)2

=

4ex

(ex+1)2

＞0，
∴f（x）=

4ex

ex+1

是增函数．
法2：f（x）=

4ex

ex+1

=

4(ex+1)-4

ex+1

=4-

4

ex+1

，
∵函数y=e^x是增函数，
∴函数y=1+e^x是增函数，y=

4

1+ex

是减函数，y=-

4

1+ex

是增函数，
∴y=4-

4

ex+1

是增函数．
∵1+e^x＞1，∴0＜

1

1+ex

＜1，0＜

4

1+ex

＜4，-4＜-

4

1+ex

＜0，
0＜4-

4

1+ex

＜4，即函数的值域为（0，4）．
（2）∵f（x）=

4ex

ex+1

=

4(ex+1)-4

ex+1

=4-

4

ex+1

，
∴f（-x）=

4e-x

e-x+1

=

4

1+ex

，
则f（x）+f（-x）=4-

4

ex+1

+

4

ex+1

=4，
则函数y=f（x）图象的一个对称中心为（0.2）．

点评：本题主要考查函数单调性和值域的求解，利用导数法或分式函数的单调性是解决本题的关键．