Question

已知不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²对任意t∈R恒成立．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|-|t-2|的最大值，可得6m-m²≥5，由此求得实数m的取值范围
（Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5，再根据（x²+y²+z²）（3²+4²+5²）≥25，求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|t+3|-|t-2|≤|（t+3）-（t-2）|=5，不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²对任意t∈R恒成立，
可得6m-m²≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．
（Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5．
∵（x²+y²+z²）（3²+4²+5²）≥（3x+4y+5z）²=25，当期仅当

x

3

=

y

4

=

z

5

时，等号成立，
即x=

3

10

，y=

2

5

，z=

1

2

 时，取等号．
∴50（x²+y²+z²）≥25，∴x²+y²+z²≥

1

2

，即x²+y²+z²的最小值为

1

2

，

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．