Question

已知函数f（x）=

mx2+8x+n

x2+1

的定义域为R，值域为[0，8]，求实数m，n的值．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据题意，将式子变形为（y-m）x²-8x+y-n=0，然后运用二次函数中的△≥0，求出实数m，n的值即可．

解答： 解：设y=f（x）=

mx2+8x+n

x2+1

，
将式子变形为（y-m）x²-8x+y-n=0，
当y-m≠0，△=64-4（y-m）（y-n）≥0，
即（y-m）（y-n）≤16，
∴0，8是方程（y-m）（y-n）=16的两个根，代入得

(0-m)(0-n)=16 (8-m)(8-n)=16

，
解得m=n=4．
当y-m=0时，m=n=4，也符合题意．
∴m=n=4．

点评：本题主要考查了函数的定义域、值域的运用，属于中档题，解答此题的关键是借助一元二次方程有解时△≥0恒成立．