Question

若a、b、c成等比数列，log_ca、log_bc、log_ab成等差数列，则公差d=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：设公比为k，可得log_ca=

1

1+2 lgk lga

，log_bc=

2 lgk lga +1

lgk lga +1

，log_ab=

lgk

lga

+1，由成等差数列可得x的方程，解得x=0或x=

3+ 33

4

或x=

3- 33

4

，分别代入求公差即可．

解答： 解：∵a、b、c成等比数列，可设其公比为k，
∴b=ak，c=ak²，
∴log_ca=

lga

lgc

=

lga

lgak2

=

lga

lga+2lgk

=

1

1+2 lgk lga

，
同理可得log_bc=

2 lgk lga +1

lgk lga +1

，log_ab=

lgk

lga

+1，
又∵log_ca、log_bc、log_ab成等差数列，设

lgk

lga

=x，
∴2

2x+1

x+1

=

1

1+2x

+x+1，整理可得2x³-3x²-3x=0，
解得x=0或x=

3+ 33

4

或x=

3- 33

4

，
当x=0时，log_ca=1，log_bc=1，公差d=log_bc-log_ca=0；
当x=

3+ 33

4

时，log_ca=-

33 +5

4

，log_bc=

1- 33

4

，d=log_bc-log_ca=

3

2

；
当x=

3- 33

4

时，log_ca=

33 -5

4

，log_bc=

33 +1

4

，d=log_bc-log_ca=

3

2

，
故答案为：0或

3

2

点评：本题考查等比数列的性质和等差数列，涉及分类讨论的思想，属中档题．