Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立；则称函数f（x）为理想函数．
下面有三个命题：
①若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；
②函数f（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是理想函数；
③若函数f（x）是理想函数，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀；
其中正确的命题个数有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义

分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，从而得到f（0）=0．
（2）由题设知g（1）=1；由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；设x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则2x1≥1，2x2≥1；由此能够证明函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）若f（x₀）＞x₀，则由题设知f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，由此入手能证明f（x₀）=x₀．

解答： 解解：（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；
∴f（0）=0，①正确，
（2 ） 由题设知：g（1）=2-1=1；
由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；
设x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则2x1≥1，2x2≥1；
∴g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=（2x1+x2-1）-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
∴函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．②正确，
（3）证明：若f（x₀）＞x₀，则由题设知：f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，
∴由题设及③知：x₀=f（f（x₀））=f[（f（x₀）-x₀）+x₀]≥f[f（x₀）-x₀]+f（x₀）≥f（x₀）矛盾；
若f（x₀）＜x₀，则由题设知：x₀-f（x₀）∈[0，1]，且由①知f[x₀-f（x₀）]≥0，
∴同理得：f（x₀）=f[（x₀-f（x₀））+f（x₀）]=f[x₀-f（x₀）]+f（f（x₀））≥f（f（x₀））=x₀，矛盾；
故由上述知：f（x₀）=x₀．③正确．
故选：D．

点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．