Question

数列{a_n}中，a1=

1

3

，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2，n∈N^*），
（1）分别求出a₂，a₃，a₄
（2）猜想通项公式a_n
（3）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先变形递推公式，再分别代入求出值即可，
（2）由（1）猜想出结论，
（3）利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）∵a1=

1

3

，an=

an-1

3an-1+1

=

1

3+ 1 an-1

（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=

a1

3a1+1

=

1

3+3

=

1

6

，a₃=

1

3+6

=

1

9

，a₄=

1

3+9

=

1

12

，
（2）由（1）可以猜想a_n=

1

3n

，
（3）①当n=1时，显然成立，
②假设n=k时也成立，即a_k=

1

3k

，
那么当n=k+1时，a_k+1=

1

3+ 1 ak

=

1

3+3k

=

1

3(k+1)

也成立，
由①②可知，猜想成立．

点评：本题主要考查了数学归纳的证明，属于基础题．