Question

11．如图，一海岛D，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一批物资需运往海岛D，为了尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现用海陆联运的方式，火车的时速为50km，船的时速为30km，试在岸边选一点C，问选在何处可使运输时间最短．

Answer 1

分析 设BC=x，分别求出海运时间和陆运时间，求时间的最小值即可．

解答 解：设BC=x，则EC=$\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}$，AC=300-x，则运输时间t（x）=$\frac{\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$．
∴t′（x）=$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}-\frac{1}{50}$，令$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}-\frac{1}{50}$=0，解得x=$\frac{225}{2}$．
当0＜x＜$\frac{225}{2}$时，t′（x）＜0，当$\frac{225}{2}$＜t＜300时，t′（x）＞0．
∴当x=$\frac{225}{2}$时，t（x）取得最小值．
∴在距离B点$\frac{225}{2}$处进行海运可使运输时间最短．

点评 本题考查了解三角形和利用导数求函数最值，是中档题．