Question

16．已知以直线y=±kx（k＞0）为渐近线的双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的离心率为e，且$\frac{1}{k}$和e是方程${x}^{2}+mx+\sqrt{6}=0$的两个根，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． $y=±\frac{\sqrt{2}}{2}x$
• B． $y=±\sqrt{2}x$
• C． y=±2x
• D． y=$±\frac{1}{2}x$

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{k}$和e是方程${x}^{2}+mx+\sqrt{6}=0$的两个根，可得$\frac{e}{k}$=$\sqrt{6}$，结合离心率公式，可得$\frac{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}{k}$=$\sqrt{6}$，求出k，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵$\frac{1}{k}$和e是方程${x}^{2}+mx+\sqrt{6}=0$的两个根，
∴$\frac{e}{k}$=$\sqrt{6}$，
∴$\frac{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}{k}$=$\sqrt{6}$，
∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴该双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．