Question

9．已知角∂的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点$P（-3，\sqrt{3}）$．
（1）求sin2∂-tan∂+$\frac{\sqrt{3}}{6}$的值；
（2）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1）求函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα的值，再利用倍角公式求出sin2α，则答案可求；
（2）利用两角和的余弦化简f（x），结合向量数量积的坐标表示得到函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1，整理后利用x的范围求得相位的范围，则函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围可求．

解答 解：（1）∵角α终边经过点$P（-3，\sqrt{3}）$，
∴$sinα=\frac{1}{2}$，cos$α=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan$α=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin2α-tanα+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=2sinαcosα-tanα$+\frac{\sqrt{3}}{6}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}=0$；
（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R．
∴y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1=$\sqrt{3}sin2x-（2co{s}^{2}x-1）-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-1=2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
∵0≤x≤$\frac{2π}{3}$，∴$0≤2x≤\frac{4π}{3}$，$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，则$-2≤2sin（2x-\frac{π}{6}）-1≤1$．
函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围是[-2，1]．

点评 本题考查任意角的三角函数定义，考查了数量积的坐标表示，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．