题目内容
2．
北京时间2015年07月31日17时57分，在马来西亚首都吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，国际奥委会主席托马斯．巴赫宣布北京赢得2022年第二十四届冬季奥林匹克运动会（以下简称冬奥会）的举办权，华夏大地一片欢腾，某高中为了调查学生对冬奥会的了解惰况，组织了“冬奥会知多少”的知识问卷测试，从该校2400名学生中随机抽取12人进行知识问卷测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示（如图所示），根据主办方标准，测试成绩低于80分的为“非体育迷”，不低于80分的为“体育迷”，（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该校学生中任选4人进行深度访谈，求恰好有1人是“体育迷”的概率；
（2）从抽取的12名学生中随机选取3人，记ξ表示“体育迷”的人数，求ξ的分布列和数学期望．
分析 （1）由茎叶图得从该校任取一人，取到“体育谜”的频率为$\frac{2}{3}$，由此能求出将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该校学生中任选4人进行深度访谈，恰好有1人是“体育迷”的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答 解：（1）由茎叶图得从该校2400名学生中随机抽取12人中，“非体育迷”有4人，“体育迷”有8人，
∴从该校任取一人，取到“体育谜”的频率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
∴将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该校学生中任选4人进行深度访谈，
恰好有1人是“体育迷”的概率p=${C}_{4}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{8}{81}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{27}$ | $\frac{6}{27}$ | $\frac{12}{27}$ | $\frac{8}{27}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
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