Question

若对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）：
（1）求f（0），并证明f（x）为奇函数； 
（2）若f（1）=3，求f（-5）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知条件直接反证法，求f（0），然后通过反证法结合函数的奇偶性的定义，证明f（x）为奇函数； 
（2）通过已知条件化简f（-5=5f（-1），利用f（1）=3，即可求f（-5）．

解答： 解：（1）由于对一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
故在上式中可令x=y=0，则有：f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．…（2分）
再令 y=-x，则有：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
所以：f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．…（5分）
（2）由于f（x）为奇函数，且f（x+y）=f（x）+f（y），
f（-5）=f[（-1）+（-1）+（-1）+（-1）+（-1）]=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）
=5f（-1）=-f（1）=-5×3=-15…（8分）

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的证明，考查计算能力．