题目内容
已知x∈R，求f（x）=sin2x+1+
的最小值．
| 5 |
| sin2x+1 |
考点：基本不等式,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：本题可以先通过换元将原函数转化为代数函数，求出相应函数的导函数，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，即本题答案．
解答：
解：设t=sin2x+1，（1≤t≤2）．
g(t)=t+
，
∴g′(t)=1-
=
，
∵1≤t≤2，
∴g′（t）＜0．
∴g（t）在[1，2]上单调递减．
∴[g(t)]min=g(2)=
．
∴f（x）=sin2x+1+
的最小值为
．
g(t)=t+
| 5 |
| t |
∴g′(t)=1-
| 5 |
| t2 |
(t+
| ||||
| t2 |
∵1≤t≤2，
∴g′（t）＜0．
∴g（t）在[1，2]上单调递减．
∴[g(t)]min=g(2)=
| 9 |
| 2 |
∴f（x）=sin2x+1+
| 5 |
| sin2x+1 |
| 9 |
| 2 |
点评：本题考查了导数法求单调区间、函数的最值，培养学生分析问题解决问题的能力，要注意的是如果本题运用基本不等式求最值时，不具备取等号的条件．本题难度不大，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设不等式组
，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P（x，y），则P点的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（ ）
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A、
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B、
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C、
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D、
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