Question

用白铁皮做一个平底、圆锥形盖的圆柱形粮囤，粮囤容积为（8+8

2

）πm³（不含锥形盖内空间），盖子的母线与底面圆半径的夹角为45°，设粮囤的底面圆半径为Rm，需用白铁皮的面积记为S（R）m²（不计接头等）．
（1）将S（R）表示为R的函数；
（2）求S（R）的最小值及对应的粮囤的总高度．（含圆锥顶盖）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数最值的应用,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求需要的铁皮的面积，实际上是求圆柱体的表面积，又因圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，代入数据即可求解；即可将S（R）表示为R的函数；
（2）求出S（R）的导数，利用导数值为0判断函数的最小值，即可求解粮囤的总高度．（含圆锥顶盖）

解答： 解：（1）S(R)=2πRh+πR2+

1

2

•2πR•

2

R=2πR•

V

πR2

+(1+

2

)πR2
=

2V

R

+(1+

2

)πR2=

16(1+ 2 )

R

+(1+

2

)πR2（R＞0）…（7分）
（2）S′(R)=-

16(1+ 2 )

R2

+2(1+

2

)πR，
令S'（R）=0，得R=2…（10分）
当R＞2时，S'（R）＞0，
当R＜2时S'（R）＜0，
∴当R=2时，S（R）取得极小值也是最小值，且S(R)min=S(2)=8(1+

2

)π，…（13分）
此时圆柱的高为2(1+

2

)，圆锥盖的高为

2

，
∴粮囤的总高度为(2+3

2

)m…（15分）
答：（1）

2V

R

S(R)=

16(1+ 2 )

R

+(1+

2

)πR2；（2）S(R)min=S(2)=8(1+

2

)π，对应粮囤的总高度为(2+3

2

)m．…（16分）．

点评：此题主要考查圆柱体的表面积和体积的计算方法在实际生活中的应用．考查导数在函数的最值中的应用．