Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1，
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（

c

2

）=2且c²=ab，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用二倍角的余弦与正弦可将函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1转化为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期；
（2）由 f（

C

2

）=2sin（C+

π

6

）=2，求出sin（C+

π

6

）=1，可得C的值，再由余弦定理求得a=b，从而判断三角形为等边三角形．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=（1+cos2x）+

3

sin2x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
∴函数的周期为：

2π

2

=π．
对称轴方程为：2x=kπ+

π

2

，k∈Z．
即：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）∵f（

C

2

）=2sin（C+

π

6

）=2，
∴sin（C+

π

6

）=1．
∵0＜C＜π，∴，

π

6

＜C+

π

6

＜

7π

6

，
∴C+

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
∵c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=ab，
整理得 a=b，
∴三角形ABC为等边三角形．

点评：本题考查二倍角的余弦与正弦，考查正弦函数的单调性与最值，考查三角函数的周期及其求法，属于中档题．