Question

已知函数f（x）在（0，+∞）内为单调递增函数，且f（x•y）=f（x）+f（y）对任意的x，y都成立，f（2）=1．
（Ⅰ）求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）求满足条件f（x）+f（x-3）＞2的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）的值；再令x=y=2，即可求得f（4）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（4）=2，于是f（x）+f（x-3）＞2?f[x（x-3）]＞f（4），利用f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，可得到相应的不等式组，解之即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=y=2则f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
（Ⅱ）∵f（x）+f（x-3）＞2=f（4），
∴f[x（x-3）]＞f（4），
又∵f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)＞4

，解得：x＞4．
∴原不等式的解集为：{x|x＞4}．

点评：本题考查抽象函数及其性质，着重考查赋值法与函数单调性的应用，突出转化思想与解不等式组的能力，属于中档题．