Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x；
（1）若f（x）在（-∞，-

1

3

）上单调递增，在（-

1

3

，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）当a=

1

2

时，求证：当x＞0时，f（x）≥x-

3

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数极值的意义，得出-

1

3

和1是f′（x）=0的方程的根，即可求得a；
（2）由f（x）=x³-

1

2

x²-x，要证f（x）≥x-

3

2

，即证x³-

1

2

x²-2x+

3

2

≥0，令g（x）=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，利用导数法求得
g（x）_min=g（1）=0，即可得证．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-1=3（x+

1

3

）（x-1）=（3x+1）（x-1）=3x²-2x-1，∴a=1．
（2）f（x）=x³-

1

2

x²-x，要证f（x）≥x-

3

2

，即证x³-

1

2

x²-2x+

3

2

≥0，
令g（x）=x³-

1

2

x²-2x+

3

2

，
∴g′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）=0，
∴x=1或x=-

2

3

，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0，
∴g（x）≥0，即f（x）≥x-

3

2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值最值问题等知识，考查学生等价转化思想的运用能力及运算求解能力，属中档题．