Question

三棱锥A-BCD中，ABD，BCD都是边长为2的等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，设M，N，P，Q分别为线段AD，AB，BC，CD的中点．
（1）证明：四边形MNPQ是矩形；
（2）求二面角A-NP-M的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用中位线定理，证得四边形MNPQ为平行四边形，再取BD的中点H，连接AH，CH，运用等边三角形的性质和线面垂直的判定定理，即可得证；
（2）取AC的中点为K，连接BK，交NP于E，连接DK，交MQ于F，连接EF，由EF⊥NP，EK⊥NP证得∠FEK均为二面角A-NP-M的平面角，再由等边三角形和面面垂直的性质，计算出EF，EK，FK，由余弦定理即可得到结果．

解答： （1）证明由于M，N为AD，AB的中点，
则MN∥BD，MN=

1

2

BD，
由于P，Q为CB，CD的中点，
则PQ∥BD，PQ=

1

2

BD，
即有MN∥PQ，且MN=PQ，
则四边形MNPQ为平行四边形，
取BD的中点H，连接AH，CH，
由于三角形ABD和三角形CBD均为等边三角形，
则AH⊥BD，CH⊥BD，
则BD⊥平面ACH，则BD⊥AC，
则由MN∥BD，MQ∥AC，
则MN⊥MQ，则四边形MNPQ为矩形；
（2）解：取AC的中点为K，连接BK，交NP于E，
连接DK，交MQ于F，连接EF，
由于AB=BC，则EK⊥NP，DK⊥AC，
则BD∥EF，EF⊥NP，
则有∠FEK均为二面角A-NP-M的平面角，
由E，F为中点，则EK=FK=

1

2

BK=

1

2

DK，
由于平面ABD⊥平面BCD，则由（1）知，AH⊥BD，
得到AH⊥平面BCD，则AH⊥CH，
则由ABD，BCD都是边长为2的等边三角形，
即有AH=CH=

3

，AC=

6

，BK=DK=

4- 6 4

=

10

2

，
则在三角形EFK中，EF=1，EK=FK=

1

2

BK=

10

4

，
则cos∠FEK=

1+ 10 16 - 10 16

2×1× 10 4

=

10

5

．

点评：本题考查空间直线与平面垂直的判断和性质定理及运用，考查面面垂直的性质定理，以及空间二面角的求法，考查蕴算能力，属于中档题．